Удивительная лента Мёбиуса

 Лист или лента Мёбиуса – удивительный математический объект, который вызывает истинное восхищение не только у детей, но и у взрослых. 

Знакомимся с этим удивительным объектом. Присоединяйтесь...

ЛЮБОЗНАЙКА:

Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790 – 1868), ученик К. Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мебиуса. Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса – в разное время и в разных странных зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все тоже односторонняя поверхность. 

Удивительные свойства листа Мебиус – он имеет один край, одну сторону - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и, тем не менее, имеют вполне геометрический характер. Лист Мебиуса – узкая полоска бумаги, концы которой склеены после одного перекручивания.

В учебнике математики (часть 1) на с. 67 предлагается проведение опыта с лентой Мёбиуса. 

Сперва возьмём полоску бумаги и склеим в кольцо

Предлагаю предположить, что получится, если разрезать кольцо по продольной линии в середине полоски. Ребята были однозначны в ответе: получим два одинаковых кольца меньшей ширины. Проверяем...

Предположение оказалось верным

А теперь возьмём полоску бумаги, перекрутим на пол – оборота, затем склеим ее концы, тем самым соединив противоположные стороны ленты. Далее предлагаю предположить, что получится, если применим разрезание по предыдущему алгоритму. Мнения ребят разделились: одни считали, что снова образуется два одинаковых кольца, другие решили, что кольца будут перекручены и соединены по принципу звеньев в цепи. Проверяем предположение... 

Подобного результата не ожидал никто: получилось одно длинное кольцо меньшей толщины, вот только перекручено оно уже не один раз, а два. Вот так фокус!

Усложняем задание: теперь мы делаем полный оборот и склеиваем концы ленты. Предположения ребята уже делают осторожно. Понимая, что ещё тоньше лента стать при разрезание наполовину не может, то и увеличиться в длине тоже не получится. Несколько человек  предполагают, что должны получиться звенья одной цепи. Экспериментируем! 

Ого! Предположение верно! Вот только звенья оказались удивительно прекрасными. Сердечки!!!

А у кого-то и наручники 

Равнодушных не осталось: опыт очень впечатлил ребят. Говоря о листе Мёбиуса, мы говорим о некоторой поверхности, в понятии которой много таинственности.

Предлагаю провести дополнительные эксперименты с Лентой Мёбиуса:

• Если разрезать ленту, отпуская от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - короткая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.
• Разрезаем лист Мебиуса на одну четвертую от края. Получается 2 кольца вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекрученные, сцепленные между собой.
• Разрезаем ленту с двумя перекрутами посередине по линии, параллельной краю. Получим два кольца с двумя перекрутами, сцепленные друг с другом.
• Разрезаем ленту с двумя перекрутами на одну треть от края. Получим один лист Мебиуса и два кольца с двумя перекрутами.
• Возьмем полоску, перегнутую по длине один раз. Перекрутим ее на полный оборот и склеим концы, накладывая «домиком» один конец на другой. Теперь разрежем двойной слой склеенной ленты по ее средней линии. Вывод: получатся три кольца, сцепленные попарно.
• Лист Мебиуса закрасить в два цвета – одним с внешней, а другим с внутренней стороны. Убедимся в том, что это сделать не удастся.

Применение Ленты Мёбиуса

Лента Мебиуса применяется во многих изобретениях, появившихся в результате тщательного изучения свойств односторонней поверхности. Ее форму повторяют абразивные ремни для заточки инструмента, ременная передача, красящая лента в печатающих устройствах.

Магнитофонная лента, которая расположена в кассете как лента Мебиуса, будет проигрываться в 2 раза дольше. Использование открытия Мебиуса позволило создать пружину, не меняющую направления срабатывания. Подобный механизм находит свое применение и в устройстве стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечивая возврат в исходное положение рулевого колеса.

Форма ленты Мебиуса использовалась и в устройстве ленточного конвейера. Это позволяло работать ему намного дольше, так как в этом случае вся поверхность ленты изнашивалась равномерно.

Ученые-физики утверждают, что в основе всех оптических законов лежит принцип ленты Мебиуса. К примеру, отражение в зеркале является своеобразным переносом во времени, так как человек видит своего зеркального двойника перед собой.